Matematikte Olasılık Nedir

BİLİM ve TEKNOLOJİ 27.11.2024 115 0

Olasılık, belirsizlik demektir. Rastgele bir olayın meydana gelmesiyle ilgilenen bir matematik dalıdır. Değer sıfırdan bire kadar ifade edilir. Olasılık, olayların meydana gelme olasılığının ne kadar olduğunu tahmin etmek için Matematikte tanıtılmıştır. Olasılığın anlamı, temel olarak bir şeyin gerçekleşme olasılığının ne ölçüde olduğudur. Bu, rastgele bir deney için sonuç olasılığını öğreneceğiniz olasılık dağılımında da kullanılan temel olasılık teorisidir. Tek bir olayın meydana gelme olasılığını bulmak için önce olası sonuçların toplam sayısını bilmeliyiz.

Matematikte Olasılık Tanımı

Olasılık, bir olayın meydana gelme olasılığının bir ölçüsüdür. Birçok olay tam bir kesinlikle tahmin edilemez. Sadece bir olayın meydana gelme şansını, yani onu kullanarak ne kadar muhtemel olduklarını tahmin edebiliriz. Olasılık 0 ile 1 arasında değişebilir, burada 0 olayın imkansız olduğu ve 1 belirli bir olayı gösterir. Bir örnek uzaydaki tüm olayların olasılığının toplamı 1'dir.

Örneğin, bir yazı tura attığımızda, ya Yazı ya da Kuyruk alırız, sadece iki olası sonuç mümkündür (H, T). Ancak iki yazı tura atıldığında, dört olası sonuç olacaktır, yani {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}.

Olasılık Formülü

Olasılık formülü, bir olayın meydana gelme olasılığının, olumlu sonuçların sayısı ile toplam sonuç sayısının oranına eşit olması olarak tanımlanır.

Olayın gerçekleşme olasılığı P(E) = Olumlu sonuçların sayısı/Toplam sonuç sayısı

Bazen öğrenciler "olumlu sonuç" ile "arzu edilen sonuç" ile karıştırılırlar. Bu temel formüldür. Ancak farklı durumlar veya olaylar için daha fazla formül var.

Çözülmüş Örnekler

1) Bir yatakta 3 tanesi kırmızı, 2 tanesi sarı ve 1 tanesi mavi olmak üzere 6 adet yastık bulunmaktadır. Sarı yastık seçme olasılığı nedir?

Cevap: Olasılık, yataktaki sarı yastık sayısının toplam yastık sayısına bölünmesine eşittir, yani 2/6 = 1/3 .

2) Kırmızı, mavi, yeşil ve turuncu renkli şişelerle dolu bir kap var. Şişelerin bir kısmı toplanır ve yer değiştirir. Sumit bunu 1000 kez yaptı ve aşağıdaki sonuçları aldı:

Seçilen mavi şişe sayısı: 300
Kırmızı şişe sayısı: 200
Yeşil şişe sayısı: 450
Portakal şişesi sayısı: 50

a) Sumit'in yeşil bir şişe seçme olasılığı nedir?

Cevap: Seçilen her 1000 şişenin 450'si yeşildir.

Bu nedenle, P(yeşil) = 450/1000 = 0.45

b) Kapta 100 şişe varsa, bunların kaç tanesinin yeşil olma olasılığı yüksektir?

Ans: Deney, 1000 şişeden 450'sinin yeşil olduğunu ima ediyor.

Bu nedenle 100 şişeden 45'i yeşildir.

Olasılık Ağacı

Ağaç diyagramı, farklı olası sonuçları düzenlemeye ve görselleştirmeye yardımcı olur. Ağacın dalları ve uçları iki ana konumdur. Her dalın olasılığı dalın üzerine yazılırken, uçlar nihai sonucu içerir. Ağaç diyagramları, ne zaman çarpılacağını ve ne zaman toplanacağını anlamak için kullanılır. Aşağıda madeni para için bir ağaç diyagramı görebilirsiniz:

Olasılık Türleri

Üç ana olasılık türü vardır:

Teorik Olasılık
Deneysel Olasılık
Aksiyomatik Olasılık

Teorik Olasılık

Bir şeyin olma ihtimaline dayanır. Teorik olasılık, esas olarak olasılığın arkasındaki mantığa dayanır. Örneğin, bir yazı tura atılırsa, tura gelme teorik olasılığı 1/2 olacaktır.

Deneysel Olasılık

Bir deneyin gözlemlerine dayanmaktadır. Deneysel olasılık, toplam deneme sayısına göre olası sonuçların sayısına dayalı olarak hesaplanabilir. Örneğin, bir madeni para 10 kez atılırsa ve tura 6 kez kaydedilirse, yazı için deneysel olasılık 6/10 veya 3/5'tir.

Aksiyomatik Olasılık

Aksiyomatik olasılıkta, tüm türler için geçerli olan bir dizi kural veya aksiyom belirlenir. Bu aksiyomlar Kolmogorov tarafından belirlenir ve Kolmogorov'un üç aksiyomu olarak bilinir. Olasılığa aksiyomatik yaklaşımla, olayların meydana gelme veya meydana gelmeme şansı ölçülebilir. Aksiyomatik olasılık dersi, bu kavramı Kolmogorov'un üç kuralı ( aksiyomları ) ve çeşitli örneklerle ayrıntılı olarak ele alır.

Koşullu Olasılık, önceki bir olayın veya sonucun meydana gelmesine bağlı olarak meydana gelen bir olayın veya sonucun meydana gelme olasılığıdır.

Bir Olayın Olasılığı

Bir E olayının, n olası veya olası eşit derecede olası yolların toplamından r şekilde meydana gelebileceğini varsayalım. Daha sonra olayın gerçekleşme olasılığı veya başarısı şu şekilde ifade edilir;

P(E) = r/n

Olayın meydana gelmeme veya başarısızlığı olarak bilinme olasılığı şu şekilde ifade edilir:

P(E') = (n-r)/n = 1-(r/n)

E' olayın gerçekleşmeyeceğini temsil eder.

Dolayısıyla şimdi diyebiliriz ki;

P(E) + P(E') = 1 olur

Bu, herhangi bir rastgele test veya deneydeki tüm olasılıkların toplamının 1'e eşit olduğu anlamına gelir.

Eşit Derecede Olası Olaylar Nelerdir?

Olayların meydana gelme olasılığı aynı olduğunda, bunlara eşit derecede olası olaylar denir. Bir örnek uzayın sonuçları, hepsinin aynı gerçekleşme olasılığına sahip olması durumunda eşit olasılık olarak adlandırılır. Örneğin, bir zar atarsanız, 1 elde etme olasılığı 1/6'dır. Benzer şekilde, 2,3,4,5 ve 6'dan tüm sayıları birer birer alma olasılığı 1/6'dır. Bu nedenle, bir zar atarken eşit derecede olası olaylara ilişkin bazı örnekler aşağıda verilmiştir:

Bir zar atarken 3 ve 5 almak
Bir zarda çift sayı ve tek sayı elde etmek
Bir zarı yuvarlarken 1, 2 veya 3 elde etmek

her olayın olasılıkları eşit olduğu için eşit derecede olası olaylardır.

Tamamlayıcı Etkinlikler

Bir olayın meydana gelip gelmeyeceğini belirten sadece iki sonuç olma olasılığı. Bir insanın evinize gelmesi ya da gelmemesi, bir işe girmesi ya da bir işe girmemesi vb. birbirini tamamlayan olaylara örnektir. Temel olarak, bir olayın tamamlayıcısı meydana gelme olasılığının tam tersi şekilde gerçekleşmektedir. Bazı başka örnekler:

Bugün yağmur yağacak ya da yağmayacak.
Öğrenci sınavı geçecek veya geçemeyecektir.
Piyangoyu kazanırsın ya da kazanmazsın.

Olasılık Teorisi

Olasılık teorisinin kökü, 16. yüzyılda, bir İtalyan matematikçi ve doktor olan J. Cardan'ın konuyla ilgili ilk çalışma olan Şans Oyunları Kitabı'nı ele aldığı zaman ortaya çıktı. Başlangıcından sonra, olasılık bilgisi büyük matematikçilerin dikkatini çekmiştir. Bu nedenle, Olasılık teorisi, olayların meydana gelme olasılığı ile ilgilenen matematiğin dalıdır. Birçok farklı olasılık yorumu olmasına rağmen, olasılık teorisi kavramı bir dizi aksiyom veya hipotez aracılığıyla ifade ederek kesin olarak yorumlar. Bu hipotezler, 0 ile 1 arasında değerler tutan bir hesaplamaya izin veren bir olasılık uzayı cinsinden olasılığı oluşturmaya yardımcı olur. Bu, örnek uzayının bir dizi olası sonucu için olasılık ölçüsü olarak bilinir.

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu ( PDF ), belirli bir değer aralığı arasında yer alan sürekli bir rastgele değişkenin yoğunluğu için temsil edilen olasılık fonksiyonudur. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu, normal dağılımı ve ortalama ve sapmanın nasıl var olduğunu açıklar. Standart normal dağılım, bilimde dağılımı bilinmeyen gerçek değerli değişkenleri temsil etmek için sıklıkla kullanılan bir veritabanı veya istatistik oluşturmak için kullanılır.

Olasılık Terimleri ve Tanımı

Önemli olasılık terimlerinden bazıları burada tartışılmaktadır:

Terim	Tanım	Örnek
Örnek Alanı	Herhangi bir denemede ortaya çıkabilecek tüm olası sonuçların kümesi	Yazı tura atmak, Örnek Uzay (S) = {H,T} Bir zarı yuvarlamak, Örnek Uzay (S) = {1,2,3,4,5,6}
Örnek Nokta	Olası sonuçlardan biridir	Bir iskambil destesinde: Kupa 4'ü örnek bir noktadır. Sopaların kraliçesi örnek bir noktadır.
Deney veya Deneme	Sonuçların her zaman belirsiz olduğu bir dizi eylem.	Yazı tura atmak, Bir iskambil destesinden bir kart seçmek, zar atmak.
Olay	Bir deneyin tek bir sonucudur.	Yazı tura atarken Yazı almak bir olaydır.
Sonuç	Bir denemenin/deneyin olası sonucu	T ( kuyruk ), bir yazı tura atıldığında olası bir sonuçtur.
Ücretsiz etkinlik	Gerçekleşmeyen olaylar. Bir A olayının tümleyeni olaydır, A ( veya A' ) değil	Standart 52 kartlık bir destede, A = Bir kalp çizin, sonra A' = Bir kalp çizmeyin
İmkansız Olay	Olay gerçekleşemez	Yazı tura atarken, aynı anda hem yazı hem de kuyruk almak imkansız

Matematikte Olasılık Nedir. Bir Olayın Olasılığı

Olasılık Uygulamaları

Olasılık, gerçek hayatta çok çeşitli uygulamalara sahiptir. Aşağıdaki olayların sonuçlarını kontrol ederken günlük hayatımızda gördüğümüz yaygın uygulamalardan bazıları:

Kart destesinden bir kart seçme
Yazı tura atmak
Havaya zar atmak
Kırmızı ve beyaz toplardan oluşan bir kovadan kırmızı bir top çıkarmak
Şanslı bir çekiliş kazanmak

Olasılığın Diğer Önemli Uygulamaları

Çeşitli endüstrilerde risk değerlendirmesi ve modelleme için kullanılır
Hava tahmini veya hava değişikliklerinin tahmini
Oyunculara ve takımın gücüne dayalı bir sporda bir takımın kazanma olasılığı
Hisse senedi piyasasında, hisse fiyatlarının artma şansı

Olasılık Problemleri ve Çözüm Önerileri

Soru 1: "Bir zar atarken 3 elde etme" olasılığını bulun.

Çözüm:

Örnek Uzay = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Toplam sonuç sayısı = n(S) = 6

A, 3 alma olayı olsun.

Olumlu sonuç sayısı = n(A) = 1

yani A = {3}

Olasılık, P(A) = n(A)/n(S) = 1/6

Dolayısıyla, P(bir zarı yuvarlarken 3 elde etmek) = 1/6

Soru 2: Bir deste karttan rastgele bir kart çekin. Çekilen kartın bir yüz kartı olma olasılığı nedir?

Çözüm:

Standart bir destede 52 kart bulunur.

Toplam sonuç sayısı = n(S) = 52

E, bir yüz kartı çekme olayı olsun.

Olumlu olay sayısı = n(E) = 4 x 3 = 12 ( yalnızca Vale, Kraliçe ve Kral olarak kabul edilir )

Olasılık, P = Olumlu sonuç sayısı/toplam sonuç sayısı

P(E) = n(E)/n(S)

= 12/52

= 3/13

P( çekilen kart bir yüz kartıdır ) = 3/13

3: Bir kapta 4 mavi top, 5 kırmızı top ve 11 beyaz top bulunur. Kaptan rastgele üç top çekilirse, ilk topun kırmızı, ikinci topun mavi ve üçüncü topun beyaz olma olasılığı nedir?

Çözüm:

Verilen

İlk topu alma olasılığı kırmızıdır veya ilk olay 5/20 'dir.

İlk olayın gerçekleşmesi için bir top çektiğimize göre, ikinci olayın gerçekleşmesi için kalan olasılık sayısı 20 – 1 = 19 'dur.

Bu nedenle, ikinci topu mavi veya ikinci olay olarak alma olasılığı 4/19 'dur.

Yine birinci ve ikinci olayın meydana gelmesiyle, üçüncü olayın gerçekleşmesi için kalan olasılık sayısı 19 – 1 = 18 'dir.

Ve üçüncü topun olasılığı beyaz veya üçüncü olayın olasılığı 11/18 'dir.

Bu nedenle, olasılık 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0.032 'dir.

Ya da şu şekilde ifade edebiliriz: P = %3.2 'dir.

Soru 4: İki zar atılırsa, toplamın şu şekilde olma olasılığını bulun:

1'e eşittir
4'e eşittir
13'ten az

Çözüm:

Toplamın 1'e eşit olma olasılığını bulmak için önce aşağıda gösterildiği gibi iki zarın örnek uzayını S belirlememiz gerekir.

S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) }

Yani, n(S) = 36

1) E, "toplamı 1'e eşittir" olayı olsun. Çünkü, bir toplamın 1'e eşit olduğu hiçbir sonuç yoktur, bu nedenle,

P(E) = n(E) / n(S) = 0 / 36 = 0

2) A, zardaki sayıların toplamının 4'e eşit olması olayı olsun.

Üç olası sonuç, 4'e eşit bir toplam verir, bunlar:

A = {(1,3),(2,2),(3,1)}

vn(A) = 3

Dolayısıyla, P(A) = n(A) / n(S) = 3 / 36 = 1 / 12

3) B'nin zardaki sayıların toplamını alma olayının 13'ten küçük olması olayını varsayalım.

Örnek uzaydan, B'den daha küçük bir toplam veren B olayı için tüm olası sonuçları görebiliriz. Gibi:

(1,1) veya (1,6) veya (2,6) veya (6,6).

Böylece, bir olayın meydana gelmesi sınırının, her iki zarın da 6 numaraya, yani (6,6) sahip olduğu zaman olduğunu görebilirsiniz.

Böylece, n(B) = 36

Bu yüzden

P(B) = n(B) / n(S) = 36 / 36 = 1

Olasılık Problemleri

İki zar birlikte atılır. Zarın üstündeki sayıların çarpımının şu şekilde olma olasılığını bulun:
(i) 6 (ii) 12 (iii) 7
Bir çantada 10 kırmızı, 5 mavi ve 7 yeşil top bulunur. Rastgele bir top çekilir. Bu topun (i) kırmızı top olma olasılığını bulun: (ii) yeşil top (iii) mavi top değil.
Tüm valeler, kızlar ve papazlar 52 oyun kartından oluşan bir desteden çıkarılır. Kalan kartlar iyice karıştırılır ve ardından rastgele bir kart çekilir. As'a 1 değeri vererek diğer kartlar için benzer bir değer, kartın (i) 7 (ii) 7'den büyük (iii) 7'den küçük bir değere sahip olma olasılığını bulun.
Bir kalıbın altı yüzü 0, 1, 1, 1, 6, 6 olarak işaretlenmiştir. Bu tür iki zar bir araya getirilir ve toplam puan kaydedilir.
(i) Kaç farklı puan mümkündür?

(ii) Toplam 7 elde etme olasılığı nedir?

Olasılık Hakkında Sıkça Sorulan Sorular ( SSS )

1. Olasılık nedir? Bir örnek verin

Olasılık, rastgele bir olayın meydana gelmesiyle ilgilenen bir matematik dalıdır. Örneğin, bir madeni para havaya atıldığında, olası sonuçlar Yazı ve Tura'dır.

2. Olasılığın formülü nedir?

Olasılık formülü, bir olayın meydana gelme olasılığının, olumlu sonuçların sayısının toplam sonuç sayısına oranına eşit olması olarak tanımlanır.

3. Farklı olasılık türleri nelerdir?

Üç ana olasılık türü vardır:
Teorik Olasılık
Deneysel Olasılık
Aksiyomatik Olasılık

4. Olasılığın temel kuralları nelerdir?

A ve B iki olay ise, o zaman;
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
P ( A ∩ B ) = P ( B ) ⋅ P ( A | B )

5. Olasılıkta tümleyen kuralı nedir?

Olasılıkta, tamamlayıcı kural, "bir olayın ve tümlecinin olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması gerektiğini" belirtir. A bir olay ise, tümleyen kural şu şekilde verilir:
P(A) + P(A') = 1