Trigonometri Nedir, Ne İşe Yarar? Trigonometri Kullanım Alanları

    Trigonometri, üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkileri inceleyen bir matematik dalıdır. Trigonometri, her düz kenarlı şekil bir üçgenler topluluğu olarak bölünebileceğinden, geometrinin her yerinde bulunur. Dahası, trigonometrinin matematiğin diğer dallarıyla, özellikle karmaşık sayılar, sonsuz seriler, logaritmalar ve kalkülüs ile şaşırtıcı derecede girift ilişkileri vardır. 

    Trigonometri kelimesi, Yunanca üçgen ( trigōnon ) ve ölçü ( metron ) kelimelerinden 16. yüzyıldan kalma bir Latince türevidir . Alan, MÖ 3. yüzyılda Yunanistan'da ortaya çıkmış olsa da, en önemli katkılardan bazıları ( sinüs fonksiyonu gibi ) MS 5. yüzyılda Hindistan'dan geldi. Bilim adamları trigonometriyi bağımsız olarak veya Yunan etkisinden sonra geliştirdiler. Victor Katz'a göre “ A History of Mathematics ( 3rd Edition ) ”  ( Pearson, 2008 ), trigonometri, öncelikle Yunan ve Hintli astronomların ihtiyaçlarından geliştirildi.

Bir örnek: Bir yelkenli direğinin yüksekliği

    Diyelim ki bir yelkenli direğinin yüksekliğini bilmeniz gerekiyor, ancak ölçmek için tırmanamıyorsunuz. Direk güverteye dik ise ve direğin üstü güverteye bağlıysa, direk, güverte ve halat bir dik üçgen oluşturur. Halatın direkten ne kadar uzakta olduğunu ve ipin güverte ile buluştuğu eğimi biliyorsak, direğin yüksekliğini belirlemek için tek ihtiyacımız trigonometridir.

    Bu gösterim için, "eğim"i tanımlamanın birkaç yolunu incelememiz gerekiyor. Birincisi,  bir çizginin dikey olarak kaç birim arttığını (  yükselişi ) yatay olarak kaç birim arttığına ( uzunluk ) kıyaslayan  bir oran olan eğimdir . Bu nedenle eğim, yükseklik bölü mesafe olarak hesaplanır. Donanım noktasını direğin tabanından ( yol ) 30 fit ( 9,1 metre ) olarak ölçtüğümüzü varsayalım. Koşuyu eğimle çarparak, yükselişi, yani direk yüksekliğini elde ederiz. Maalesef eğimi bilmiyoruz. Bununla birlikte,  arma ipinin açısını  bulabilir ve onu eğimi bulmak için kullanabiliriz . Açı, 360 dereceye sahip olarak tanımlanan tam bir dairenin bir kısmıdır. Bu, bir iletki ile kolayca ölçülür. Arma halatı ile güverte arasındaki açının 71 / 360 daire veya 71 derece olduğunu varsayalım.

    Eğimi istiyoruz ama sahip olduğumuz tek şey açı. İhtiyacımız olan şey, ikisini ilişkilendiren bir ilişki.  Bu ilişki, tan(x) olarak yazılan " teğet işlevi " olarak bilinir . Bir açının tanjantı eğimini verir. Demomuz için denklem şu şekildedir: tan(71°) = 2.90. ( Bu cevabı nasıl aldığımızı daha sonra açıklayacağız. )

    Bu, arma ipimizin eğiminin 2.90 olduğu anlamına gelir. Arma noktası direğin tabanından 30 fit uzakta olduğundan, direk 2,90 × 30 fit veya 87 fit yüksekliğinde olmalıdır. ( Metrik sistemde aynı şekilde çalışır: 2,90 x 9,1 metre = 26,4 metre. )

Sinüs, kosinüs ve teğet

    Bir dik üçgenin çeşitli kenar uzunlukları ve açıları hakkında bilinenlere bağlı olarak, daha yararlı olabilecek iki trigonometrik fonksiyon daha vardır:  sin(x) olarak yazılan " sinüs fonksiyonu" ve  cos( olarak yazılan " kosinüs fonksiyonu". x ). Bu işlevleri açıklamadan önce bazı ek terminolojiye ihtiyaç vardır. Birbirine temas eden kenarlar ve açılar  bitişik olarak tanımlanır . Her kenarın bitişik iki açısı vardır. Birbirine değmeyen kenarlar ve açılar  zıt olarak tanımlanır . Bir dik üçgen için, dik açının karşısındaki kenara  hipotenüs denir  ( Yunancadan "altına uzanan" anlamına gelir ). Kalan iki tarafa  bacak denir.

    Genellikle ( yukarıdaki örnekte olduğu gibi ) dik açıdan başka bir açıyla ilgileniriz. Yukarıdaki örnekte "yükselme" dediğimiz şey, ilgilenilen açının karşısındaki bacağın uzunluğu olarak alınır; aynı şekilde, "koşma" bitişik bacağın uzunluğu olarak alınır. Bir açı ölçüsüne uygulandığında, üç trigonometrik fonksiyon, kenar uzunluklarının çeşitli oran kombinasyonlarını üretir.

Diğer bir deyişle:

• A açısının tanjantı = karşı kenarın uzunluğu bölü komşu kenarın uzunluğu
• A açısının sinüsü = karşı kenarın uzunluğu bölü hipotenüsün uzunluğu
• A açısının kosinüsü = bitişik kenarın uzunluğu bölü hipotenüsün uzunluğu

    Daha önce gemi direği örneğimizden, bir açı ile teğeti arasındaki ilişki, aşağıda gösterilen grafiğinden belirlenebilir. Sinüs ve kosinüs grafikleri de dahildir.

    Bahsetmeye değer, ancak bu makalenin kapsamı dışındadır, bu işlevler özdeşlikler olarak bilinen çok çeşitli karmaşık denklemler aracılığıyla birbirleriyle ilişkilidir, bu  denklemler her zaman doğrudur.

    Her trigonometrik fonksiyonun, kenarların oranından bir açı bulmak için kullanılabilecek bir tersi de vardır. sin(x), cos(x) ve tan(x)'in tersi sırasıyla arcsin(x), arccos(x) ve arctan(x)'tir.

Dik üçgen dışındaki şekiller

    Trigonometri sadece dik üçgenlerle sınırlı değildir. Tüm üçgenler ve bir üçgenler koleksiyonu olarak ele alınan düz kenarlı tüm şekiller ile kullanılabilir. Herhangi bir üçgen için, altı kenar ve açı ölçüsü boyunca, en az üçü biliniyorsa, diğer üçü genellikle belirlenebilir. Bilinen üç kenar ve açının altı konfigürasyonundan, bu konfigürasyonlardan sadece ikisi bir üçgen hakkında her şeyi belirlemek için kullanılamaz: bilinen üç açı ( AAA ) ve bilinen kenarlara bitişik ve zıt bilinen bir açı ( ASS ). Bilinmeyen kenar uzunlukları ve açıları aşağıdaki araçlar kullanılarak belirlenir:

• Karşılıklı üç açı/kenar çiftinden birinin her iki ölçüsü de biliniyorsa, diğerlerinin yalnızca bilinen birinden belirlenebileceğini söyleyen Sinüs Yasası: sin(A)/a = sin(B)/b = sin  (C)/c
• Bilinmeyen  bir kenarın bilinen iki kenardan ve aralarındaki açıdan bulunabileceğini söyleyen Kosinüs Yasası . Temelde 90 derece olmayan açılar için bir düzeltme çarpanı olan Pisagor Teoremi: c² = a² + b² – 2ab∙cos(C)
• Bir  üçgende tüm açıların toplamının  180 derece olması gerektiği gerçeği: A + B + C = 180°

Trigonometri tarihi

    Trigonometri, cebire benzer bir yol izler  : eski Orta Doğu'da geliştirildi ve ticaret ve göç yoluyla Yunanistan, Hindistan, ortaçağ Arabistan'ı ve nihayet Avrupa'ya taşındı ( sonuç olarak, sömürgecilik onu bugün çoğu insana öğretilen versiyon haline getirdi ). Trigonometrik keşfin zaman çizelgesi, Hindistan ve Arabistan'ın, bilginin kültürel sınırların ötesine geçmesinden sonra yüzyıllar boyunca çalışmada mükemmel olmaya devam etmesi nedeniyle karmaşıktır. Örneğin,  Madhava'nın 1400'de sinüsün sonsuz serisini keşfi,  Isaac Newton'un 1670'teki bağımsız keşfine kadar Avrupa'da bilinmiyordu. Bu karmaşıklıklar nedeniyle, yalnızca sinüs, kosinüs ve tanjantın keşfine ve geçişine odaklanacağız.

    Orta Doğu'dan başlayarak, MÖ yedinci yüzyılda Neo-Babil bilim adamları, zodyak üzerindeki sabit yıldızların yükselme sürelerini hesaplamak için bir teknik belirlediler. Farklı bir sabit yıldızın şafaktan hemen önce doğması yaklaşık 10 gün sürer ve 12 burcun her birinde üç sabit yıldız vardır; 10 × 12 × 3 = 360. 360 sayısı, bir yıldaki 365,24 güne yeterince yakındır, ancak çalışmak için çok daha uygundur. Mısır  ve  İndus Vadisi gibi diğer eski uygarlıkların metinlerinde neredeyse aynı bölünmeler bulunur  . Uta Merzbach'a göre “ A History of Mathematics ”( Wiley, 2011 ), bu Babil tekniğinin MÖ 150 civarında İskenderiyeli Yunan bilim adamı Hypsicles tarafından uyarlanması, muhtemelen İznikli Hipparchus'un ( MÖ 190 ila 120 ) daireyi 360 dereceye bölme eğilimini başlatması için ilham kaynağıydı.  Hipparchus, geometriyi kullanarak 7,5 derecelik artışlarla ( bir dairenin 48'de biri ) trigonometrik değerleri ( artık kullanılmayan bir fonksiyon için ) belirledi . İskenderiyeli Batlamyus ( MS 90 - 168 ), AD 148 " Almagest " adlı eserinde  , 0'dan 180 dereceye 0,5 derecelik ( bir dairenin 720'de biri ) artışlar için trigonometrik değerler belirleyerek Hipparchus'un çalışmasını ilerletti .

    Sinüs fonksiyonunun en eski kaydı, Aryabhata'nın ( 476 - 550 ) çalışmasında beşinci yüzyıl Hindistan'ından gelmektedir. " Aryabhatiya "nın ( 499 ) 1.12. ayeti , açıları derece cinsinden temsil etmek yerine,  bir dik açının yirmi dörtte birinin  ( 3.75 derecelik artışlarla ) sinüslerinin sıralı farklarının bir listesini içerir. Bu, yüzyıllar boyunca trigonometrinin çoğunun başlangıç ​​noktasıydı.

    Trigonometriyi miras alacak bir sonraki büyük bilim adamları grubu, İslam'ın Altın Çağı'ndandı. Abbasi Halifeliğinin yedinci halifesi ve Bağdat'taki Bilgelik Evi'nin yaratıcısı Al-Ma'mun ( 813 - 833 ), Ptolemy'nin "Almagest" ve Aryabhata'nın "Aryabhatiya"sının Arapçaya çevrilmesine sponsor oldu. Kısa bir süre sonra,  Al-Harizmi  ( 780 ila 850 ) "Zīj al-Sindhind" ( 820 ) adlı eserinde doğru sinüs ve kosinüs tabloları üretti. Bu çalışma sayesinde trigonometri bilgisi ilk kez Avrupa'ya geldi. Gerald Toomer'e göre " Dictionary of Scientific Biography 7 " orijinal Arapça versiyonu kaybolmuş olsa da,  muhtemelen Adelard'dan  önce teğet tabloları ekleyen Endülüs'ten ( modern İspanya )  al-Majriti tarafından 1000 civarında düzenlendi. Banyo ( Güney İngiltere'de ) 1126'da Latince'ye çevirdi.