Uzay Geometrisi

   Geometride nokta, doğru, düzlem ve uzay gibi bazı kavramlar tanımsız olarak kabul edilir. Kalemin veya sivri bir şeyin ucunun bıraktığı ize nokta diyebiliriz. Cetvelin kenarı ile bir doğru çizebiliriz. Sınıfın duvarı, pencere camı birer düzlemdir. Odanın içerisi, herhangi bir cismin kapladığı yer birer uzay belirtirler.

   Nokta : « . » Biçiminde ifade edilir ve genellikle büyük harfle gösterilir. Nokta boyutsuzdur.

   « . » nokta, « . A” A noktası

   Doğru : iki ucuna ok işareti koyulmuş düz bir çizgi ile gösterilir. Doğru küçük harfle veya üzerindeki iki nokta ile gösterilir.

d »d doğrusu

   Veya AB doğrusu diye okunur. Buradaki A ve B noktaları doğrunun birer elemanıdır.

   A Îd ve B Î d biçiminde yazılır.

Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer.  Farklı iki nokta bir tek doğru belirtir.

   Doğru bir boyutludur. Yani sadece uzunluk söz konusudur.

   Düzlem: Uzunluğuna ve genişliğine doğru sonsuza uzayıp giden düz bir yüzeydir. Düzlem iki boyutludur. Sayfa üzerinde paralelkenar gibi gösterilebilir. Paralelkenarın köşesine harfle ismi yazılabilir.

   Şekildeki düzlem E düzlemi diye isimlendirilir.

Burada A, B ve C noktaları E düzlemi üzerindedir. Dolayısıyla B ve C noktalarından geçen d doğrusu da E düzlemi üzerindedir.

   A Î E

   B Î E

   C Î E

   d Î E

Aynı doğru üzerinde olmayan farklı üç nokta bir düzlem belirtir. Bir doğru ile, bu doğru üzerinde olmayan bir nokta, bir düzlem belirtir. Bir doğrunun farklı iki noktası bir düzlem üzerinde ise bu doğru ( doğrunun bütün noktaları ) bu düzlem üzerindedir.

 

1. Düzlemle Doğrunun Durumları

   Bir doğru düzlemin ya üzerinde, ya dışındadır veya düzlemi bir noktada keser.

   d1 Ç a = d1

   d2 Ç a = Ø

   d Ç b = {K}

   K noktası kesişen bir doğru ile bir düzlemin arakesitidir.

 

2. Düzlemde İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları

 

Paralel farklı iki doğru bir tek düzlem belirtir. Her paralel farklı iki doğrudan bir tek düzlem geçer. Kesişen farklı iki doğru bir tek düzlem belirtir. Her kesişen farklı iki doğrudan bir tek düzlem geçer. Bir düzlemde farklı iki doğru ya paraleldir, ya da bir noktada kesişirler.

   d1  Ç d2 = Ø

   l1  Ç  l2 = {A}

   Üst üste çizilen çakışık doğrular bir tek doğru kabul edilir.

 

3. Düzlemde Üç Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları

   Üç doğru paralel olabilir.

   d1 // d2 // d3                 d1 Ç d2Çd3 = Ø

   Düzlemde paralel olan iki doğrudan birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir.

   d1 // d2 ve d2 // d3 ise d1 // d3 olur.

   Yalnız ikisi paralel ise, üçüncü doğru paralel doğruları birer noktada keser.

   l1 // l2

   l1Ç l3 = {A}

   l2 Ç l3 = {B}

•  Düzlemde paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru, diğerini de keser.

•  Düzlemde paralel iki doğrudan birini dik kesen bir doğru diğerini de dik keser.

   Üç doğru bir noktada kesişebilir.

   k1 Ç k2 Çk3 = {P}

   Üç doğru ikişer ikişer kesişebilir.

   t1 Ç t2 = {A}

   t1 Ç t3 = {B}

   t2 Ç t3 = {C}

   t1 Ç t2 Çt3 = Ø

 

4.Düzlemde Nokta İle Doğrunun  Durumları

 

Doğrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru çizilebilir.

   d2 doğrusu A'dan geçer ve d1 e diktir

Doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru çizilebilir.

   d3 doğrusu B'den geçer ve d1 e diktir.

Doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve bu doğruya paralel olan bir tek doğru çizilebilir.

   l2 doğrusu A'dan geçer ve l1 ile paraleldir.

 

5. Doğruların Düzlemde Ayırdığı Bölge Sayısı

    Genel olarak, n adet doğru bir düzlemi en az (n + 1) bölgeye ( paralellik hali ), en

fazla

bölgeye ayırır.

 

•  İki doğru, bir düzlemi en az 3 bölgeye, en fazla 4 bölgeye ayırır.

•  Üç doğru, bir düzlemi en az 4 bölgeye, en fazla 7 bölgeye ayırır.

•  Dört doğru, bir düzlemi en az 5 bölgeye, en fazla 11 bölgeye ayırır.

 

Uzay Kavramı ve Uzayda Doğrular

   Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusu idi. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında bir de yükseklik kavramı vardır. ( Derinlikte denilebilir. ) Dolayısıyla uzay üç boyutludur. Uzayda x, y, z eksenleri olduğu için kartezyen koordinat olarak R x R x R veya R3 ile sembolize edilir.

   Aşağıda üç boyutlu cisimlerin bazıları belirtilmiştir.

 

1. Uzay Belirtme Aksiyomları

 

Dördü aynı düzlemde bulunmayan farklı dört nokta uzay belirtir.

   E düzlemindeki A, B, C noktaları ile düzlem dışındaki P noktası, uzay belirtir.

Bir düzlem ile bu düzlemin dışındaki bir nokta, uzay belirtir.

   E düzlemi ile bu düzlemin dışındaki P noktası uzay belirtir.

Bir düzlem ve düzlem üzerinde olmayan bir doğru uzay belirtir.

    d doğrusu F düzleminde olmadığından, F düzlemi ile d doğrusu uzay belirtir.

 

Uzayda farklı iki düzlem ya paraleldir ya da kesişirler. Paralel olmayan farklı iki düzlem daima kesişir. Farklı iki düzlem daima uzay belirtir. Kesişen iki düzlemin ortak noktalarının oluşturduğu doğruya arakesit doğrusu denir.

    Farklı K ve L düzlemleri uzay belirtir. E ve F düzlemlerinin kesişim kümesi d doğrusudur. E Ç F = d dir.

 

2. Uzayda Doğruların Durumları

    Uzayda iki doğru için üç durum söz konusudur.

İki doğru uzayda paralel olabilir. İki doğru uzayda kesişebilir. İki doğru uzayda aykırı olabilir.

E düzlemi üzerindeki d2 doğrusu ile E düzlemini kesen d1 doğrusunun ortak noktası yoktur.    d1 ve d2 doğruları paralel değil ve kesişmiyorlar ise bu doğrulara aykırı doğrular denir.

Aykırı doğrular düzlem belirtmez

Uzayda üç doğru paralel olabilir. Uzayda paralel doğrulardan birine paralel olan bir doğru diğerlerine de paraleldir. Uzayda paralel üç doğru aynı düzlemin elemanı olmak zorunda değildir.

Uzayda paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini kesmeyebilir.

   d1 // d2 Þ d1 Ç d3 = {A}

   d2 Ç d3 = Ø olur.

Paralel iki doğrunun ikisinide kesen bir doğru birini dik kesiyor ise diğerini de dik keser.

   k1 // k2 Þ k1 ^ k3 ve k2 ^ k3 olur.

Uzayda üç doğru düzlemsel veya düzlemsel olmadan bir noktada kesişebilir.

Uzayda ikişer ikişer kesişen üç doğru bir düzlem belirtir. Uzayda bir doğru kesişen iki doğrunun ikisinide kesmeyebilir.

 

Uzayda kesişen iki doğrunun kesişim kümesi bir noktadır. Uzayda paralel ve aykırı doğruların kesişim kümesi boş kümedir.

 

3. Uzayda Düzlemlerin Durumları

Bir doğru paralel düzlemlerden birini keserse diğerlerini de keser. Bir doğru paralel düzlemlerden birini dik keserse diğerlerini de dik keser. Bir doğruya dik olan farklı düzlemler paraleldirler. Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine de paraleldir.

Bir düzleme, üzerindeki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan bir tek doğru çizilebilir. Bir düzleme, dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan bir tek doğru çizilebilir. Paralel düzlemler kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler. Bir düzleme, dışındaki bir noktadan sonsuz tane paralel doğru çizilir. Bu doğrular bir düzlem oluştururlar.0

   paralel düzlemlerinde

 

Bir düzlem paralel düzlemlerden birini keserse, diğerini de keser. Bir düzlem paralel düzlemlerden birine dik ise diğerine de diktir.

Paralel düzlemleri kesen düzlemlerin arakesit doğruları paraleldir. Bir düzlemin, dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır.

   a // b Þ AB // CD

   L düzlemi dışındaki M noktasından geçen ve L düzlemine paralel olan bir tek K düzlemi vardır.

 

Bir düzlemin üzerindeki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem olabilir. Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem çizilebilir. Üç düzlem bir doğru boyunca kesişebilir.

   a düzlemi dışındaki P noktasından geçen ve a düzlemine dik olan b ve g düzlemleri gibi çok sayıda düzlem olabilir.

   a düzlemi üzerindeki K noktasından geçen ve a düzlemine dik olan sonsuz sayıda düzlem vardır.

   a, b, g düzlemleri bir doğru boyunca kesişirse

   a Ç b Ç g = d olur.

• n tane düzlem uzayı en az n + 1 bölgeye ayırır.

• Üç düzlem uzayı en az dört, en çok sekiz bölgeye ayırır.

   Düzlemlerin uzayı en az bölgeye ayırdığı durum, paralel oldukları durumdur. Üç düzlemin uzayı sekiz bölgeye ayırdığı durumu görmek için bir elmayı üç bıçak darbesi ile nasıl sekize bölebileceğimizi düşünelim.

 

Uzayda Doğru ve Düzlem Teoremleri

1. Temel Diklik Teoremi

Bir düzlemin kesişen iki doğrusuna, kesişme noktasında dik olan bir doğru, bu düzleme diktir.

   d1 Î a , d2 Î a , l Ç d1 Ç d2 Ç a = {A} veriliyor.

   l ^ d1 ve l ^ d2 ise l ^ a olur.

 

2. Üç Dikme Teoremi

Bir düzlemin dışında bulunan bir noktadan, bu düzleme ve düzlem içindeki bir doğruya birer dikme çizilirse, iki dikme ayağını birleştiren doğru düzlem içindeki doğruya diktir.

d Î a , [AB] ^ d ve    [AC] ^ a ise l ^ d olur.    d doğrusuna dik [AB] nin dik izdüşümünün üzerinde olduğu l doğrusu d doğrusuna diktir.

 

3. Dik kesişen Düzlemler

Dik kesişen iki düzlemin biri üzerinde bulunan ve kesişim doğrusuna dik olan her doğru diğer düzlemin üzerindeki doğrulara dik durumlu olur.

a ^ b, a Ç b = d    d1, d2, d3Πa ve l Î b veriliyor.    l ^ d ise l doğrusu    d1, d2 ve d3 doğrularına da dik durumlu olur.    l ile d1 , l ile d2 , l ile d3 ... dik durumludur.

 

4. Geometrik Yer

   Düzlemde iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi, orta dikme doğrusunu oluşturur.

   Uzayda ise iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi orta dikme düzlemini oluşturur.

   Her iki şekilde de, |AO| = |OB| , [AB] ^ [OK] ve |AK| = |BK| olur. K noktası birinci şekilde doğru üzerinde herhangi bir nokta, ikinci şekilde ise a düzlemi üzerinde herhangi bir noktadır.

 

Dik İzdüşüm

1. Doğru Parçasının İzdüşümü

   [AB] nin, a açısı yaptığı d doğrusu üzerine dik izdüşümü [A'B'] olur.

   |A'B'|=|AB|.cosa

 

2. Düzlem Üzerindeki İzdüşüm

   E düzlemi ile a açısı yapan ABCD dörtgeninin E düzlemi üzerindeki dik izdüşümü A'B'C'D' dörtgenidir.

• Paralel doğruların dik izdüşümleri yine paraleldir.

   [AB] // [DC] Þ [A'B'] // [D'C']

   [AD] // [BC] Þ [A'D'] // [B'C']

• Eşit uzuluktaki doğruların dik izdüşümleri yine eşit uzunluktadir.

   |AB| = |DC| Þ |A'B'| = |D'C'|

   |AD| = |BC| Þ |A'D'| = |B'C'|

   Bir düzlemle arasındaki açı a olan bir dörtgenin dik izdüşümünün alanı,

   A(A'B'C'D')=A(ABCD). cos a

   Bu durum bütün yüzey şekilleri için geçerlidir.

   şeklin alanı S, izdüşüm alanı S' dersek

   S'=S.cos a