Kepler'in Gezegensel Hareket Yasaları

    Johannes Kepler, Tycho Brahe tarafından toplanan kesin verileri kullanarak, bilinen tüm gezegenlerin ve Ay'ın gökyüzündeki konumlarını dikkatlice analiz etti ve konumlarını düzenli aralıklarla çizdi. Bu analizden yola çıkarak, bu bölümde ele alacağımız üç yasa formüle etti. 

Kepler'in Birinci Yasası

    Kepler döneminde hakim olan görüş, tüm gezegen yörüngelerinin dairesel olduğuydu. Mars için elde edilen veriler, bu görüşe en büyük meydan okumayı sundu ve sonunda Kepler'i popüler fikirden vazgeçmeye teşvik etti. Kepler'in birinci yasası, her gezegenin bir elips boyunca hareket ettiğini ve Güneş'in elipsin odağında yer aldığını belirtir. Bir elips, her noktadan iki odağa olan mesafenin toplamı bir sabit olacak şekilde tüm noktaların kümesi olarak tanımlanır. Şekil-1 bir elips gösterir ve onu oluşturmanın basit bir yolunu açıklar.

    Eliptik yörüngeler için, bir gezegenin Güneş'e en yakın yaklaşma noktasına günberi denir. Şekil-1'de A noktası olarak etiketlenmiştir. En uzak nokta aphelion'dur ve şekilde B noktası olarak etiketlenmiştir. Ay'ın Dünya etrafındaki yörüngesi için bu noktalara sırasıyla perigee ve apogee denir.

    Bir elipsin birkaç matematiksel formu vardır, ancak hepsi konik kesitler için daha genel denklemin özel bir durumudur. Hepsi denklem tarafından verilen dört farklı konik bölüm vardır. 

α/r = 1 + e cosθ   ( Denklem-1 )

    Değişkenler r ve θ Şekil-2'de gösterilmiştir bir elips durumunda. α ve e sabitleri, uydunun belirli bir noktadaki toplam enerjisi ve açısal momentumu tarafından belirlenir. e sabitine eksantriklik denir. Değerleri α ve e, dört konik bölümden hangisinin uydunun yolunu temsil ettiğini belirler.

    Newton'un evrensel yerçekimi yasasının gerçek zaferlerinden biri, mesafenin karesinin tersi ile orantılı kuvvetle, ikinci yasası ile birleştirildiğinde, herhangi bir uydunun yolunun çözümünün konik bir kesit olmasıdır. m'nin izlediği her yol, dört konik bölümden biridir: bağlı veya kapalı yörüngeler için bir daire veya elips veya sınırsız veya açık yörüngeler için bir parabol veya hiperbol. Bu konik kesitler Şekil-3'de gösterilmiştir. 

    Toplam enerji negatifse, 0 ≤ e < 1 ve Denklem-1 Bir elips veya dairenin bağlı veya kapalı yörüngesini temsil eder, burada e = 0. [ e = 0 için r = α olduğunu görebilirsiniz ve dolayısıyla yarıçap sabittir. ] Elipsler için eksantriklik, elipsin ne kadar dikdörtgen göründüğü ile ilgilidir. Bir dairenin sıfır eksantrikliği vardır, oysa çok uzun, uzatılmış bir elipsin bire yakın bir eksantrikliği vardır.

    Toplam enerji tam olarak sıfır ise, e = 1 ve yol bir paraboldür. Sıfır toplam enerjiye sahip bir uydunun tam olarak kaçış hızına sahip olduğunu hatırlayın. ( Parabol, sadece koninin yüzey boyunca teğet çizgisine paralel olarak dilimlenmesiyle oluşturulur. ) Son olarak, toplam enerji pozitifse, o zaman e > 1 ve yol bir hiperboldür. Bu son iki yol, m'nin M'den bir kez ve yalnızca bir kez geçtiği sınırsız yörüngeleri temsil eder. Bu durum, Güneş'e yaklaşan ve daha sonra bir daha geri dönmemek üzere uzaklaşan birkaç kuyruklu yıldız için gözlemlenmiştir.

    Kendimizi daha küçük kütlenin ( gezegen ) çok daha büyük ve dolayısıyla durağan bir kütlenin ( Güneş ) yörüngesinde döndüğü durumla sınırladık, ancak aynı zamanda yerçekimi ile etkileşen herhangi iki kütle için de geçerlidir. Her kütle, diğeriyle aynı şekilli konik kesiti izler. Bu şekil, sistemin toplam enerjisi ve açısal momentumu tarafından belirlenir ve sisteminkütle merkezi odakta bulunur. İki yolun boyutlarının oranı, kütlelerinin oranının tersidir.

Yörünge Transferleri

    İnsanlar, keşfedildiklerinden beri güneş sistemimizin diğer gezegenlerine seyahat etmeyi hayal ettiler. Ama bunu en iyi nasıl yapabiliriz? En verimli yöntem 1925 yılında Walter Hohmann tarafından o zamanın popüler bir bilim kurgu romanından esinlenerek keşfedildi. Yöntem şimdi Hohmann transferi olarak adlandırılıyor. İki dairesel yörünge arasında seyahat etme durumunda, transfer, elipsin günöte ve günberi kısımlarında bu yörüngeleri mükemmel bir şekilde kesen bir "transfer" elips boyunca yapılır. Şekil-4 Dünya'nın yörüngesinden Mars'ın yörüngesine bir yolculuk durumunu gösteriyor. Daha önce olduğu gibi, Güneş elipsin odak noktasındadır.

    Herhangi bir elips için, yarı ana eksen, günberi ve günötenin toplamının yarısı olarak tanımlanır. Şekil-4'de, yarı ana eksen, başlangıç noktasından x ekseni boyunca elipsin her iki tarafına olan mesafedir veya en uzun eksenin ( ana eksen olarak adlandırılır ) sadece yarısıdır. Bu nedenle, r₁ yarıçaplı bir dairesel yörüngeden seyahat etmek için r₂ yarıçaplı başka bir dairesel yörüngeye, transfer elipsinin apeliyonu daha büyük yörüngenin değerine eşit olacak, günberi ise daha küçük yörünge olacaktır. a ile gösterilen yarı ana eksen bu nedenle şu şekilde verilir: a = 1/2 (r₁+r₂) . 

    Dünya'dan Mars'a seyahat etme durumunu ele alalım. Şu an için gezegenleri görmezden geliyoruz ve Dünya'nın yörüngesinde yalnız olduğumuzu varsayıyoruz ve Mars'ın yörüngesine geçmek istiyoruz. Toplam enerjinin ifadesi olan daha büyük yörüngedeki ( Mars ) bir uzay aracının toplam enerjisinin, daha küçük yörüngedeki ( Dünya ) enerjiden daha büyük ( daha az negatif ) olduğunu görebiliriz. Dünya'nın yörüngesinden transfer elipsine geçmek için kinetik enerjimizi artırmamız gerekecek, yani bir hız artışına ihtiyacımız var. En verimli yöntem, aynı zamanda o noktada elipsin yolu boyunca olan dairesel yörünge yolu boyunca çok hızlı bir ivmedir. ( Aslında, ivme anlık olmalıdır, öyle ki dairesel ve eliptik yörüngeler ivme sırasında uyumlu olur. Pratikte, sonlu ivme, farkın önemli bir husus olmadığı kadar kısadır. ) Mars yörüngesine vardığınızda, o yörüngeye geçmek için başka bir hız artışına ihtiyacınız olacak ya da eliptik yörüngede kalacak ve başladığınız yerdeki günberi yerine geri döneceksiniz. Dönüş yolculuğu için, her aktarma noktasında bir retro takviye ile süreci tersine çevirmeniz yeterlidir.

    Transfer elipsine hareket etmek ve sonra tekrar çıkmak için, her bir dairesel yörünge hızını ve günberi ve günötedeki transfer yörünge hızlarını bilmemiz gerekir. Gerekli hız artışı, basitçe dairesel yörünge hızı ile her noktadaki eliptik yörünge hızı arasındaki farktır. Dairesel yörünge hızlarını bulabiliriz. Elipsin hızlarını belirlemek için, eliptik bir yörünge için toplam enerjinin olduğunu kanıt olmadan ( bu dersin kapsamı dışında olduğu için ) belirtiyoruz.

E = − GmM_s/2a   ( Denklem-2 )

    M_s Güneş'in kütlesidir ve a yarı ana eksendir. Dikkat çekici bir şekilde, bu dairesel yörüngeler için ancak yörünge yarıçapının yerini alan yarı ana eksenin değeri ile. Potansiyel enerjiyi bildiğimiz için, elips üzerindeki her nokta için gereken kinetik enerjiyi ve dolayısıyla hızı bulabiliriz. Dünya'dan Mars'a bir yolculuk için bu transfer hızlarını bulmayı bir meydan okuma problemi olarak bırakıyoruz.

    Bu tartışmayı birkaç önemli ayrıntıya dikkat çekerek bitiriyoruz. İlk olarak, Dünya ve Mars'tan kaynaklanan yerçekimi potansiyel enerjisini veya Mars'a iniş mekaniğini hesaba katmadık. Pratikte, bu hesaplamaların bir parçası olmalıdır. İkincisi, zamanlama her şeydir. Orada olmadığını öğrenmek için Mars'ın yörüngesine varmak istemezsiniz. Dünya'yı tam olarak doğru zamanda terk etmeliyiz, öyle ki Mars tam vardığımız gibi transfer elipsimizin apelionunda olacak. Bu fırsat her 2 yılda bir ortaya çıkıyor. Ve geri dönüş de doğru zamanlama gerektirir. Toplam yolculuk 3 yıldan biraz daha az sürecek! Venüs'ün yerçekimi destekli uçuşu da dahil olmak üzere daha hızlı bir geçiş sağlayan başka seçenekler de var. Ancak bu diğer seçenekler, astronotlar için ek bir enerji maliyeti ve tehlike ile birlikte gelir.

Kepler'in İkinci Yasası

    Kepler'in ikinci yasası, bir gezegenin eşit zamanlarda eşit alanları süpürdüğünü, yani alansal hız olarak adlandırılan alanın zamana bölündüğünü belirtir. Şekli-5 Düşünün Bir gezegenin A konumundan B konumuna hareket etmesi ve A₁ bölgesini süpürmesi için geçen süre, tam olarak C konumundan D konumuna geçmek için geçen süredir, süpürme alanı A₂'dır ve E'den F'ye hareket etmek, A₃ alanını süpürmek için. Bu alanlar aynıdır: A₁ = A₂ = A₃ .

    Şekildeki alanları ve her durumda elips boyunca kat edilen mesafeyi karşılaştırdığımızda, alanların eşit olması için gezegenin Güneş'e yaklaştıkça hızlanması ve uzaklaştıkça yavaşlaması gerektiğini görebiliriz. Bu davranış, korunum denklemimiz olan Denklem ile tamamen tutarlıdır??????. Ancak Kepler'in ikinci yasasının aslında açısal momentumun korunumunun bir sonucu olduğunu göstereceğiz, bu sadece radyal kuvvetlere sahip herhangi bir sistem için geçerlidir.

    Açısal Momentum'dan açısal momentumun tanımını hatırlayın, L→ = r→ x p→. Yörünge hareketi durumunda, L→ gezegenin Güneş etrafındaki açısal momentumudur, r→ Güneş'ten ölçülen gezegenin konum vektörüdür ve p→ = mv→ yörüngenin herhangi bir noktasındaki anlık doğrusal momentumdur. Gezegen elips boyunca hareket ettiğinden, p→ her zaman elipse teğet geçer.

    Doğrusal momentumu iki bileşene ayırabiliriz: radyal bir bileşen p→_rad Güneş'e giden çizgi boyunca ve bir bileşen p→_perp Dik r→. Açısal momentum için çapraz çarpım daha sonra şu şekilde yazılabilir:

     L→ = r→ x p→
            = r→ x (p→_rad + p→_perp)
            = r→ x p→_rad + r→ x p→_perp

    Sağdaki ilk terim sıfırdır çünkü r→ paraleldir p→_rad ve ikinci dönemde r→ 'ye dik p→_perp, böylece çapraz çarpımın büyüklüğü,

L = rp_perp = rmv_perp   ( Denklem-3 )

    Açısal momentumun aşağıdakilere bağlı olmadığına dikkat edin p_rad. Yerçekimi kuvveti sadece radyal yönde olduğu için sadece değişebilir p_rad ve değil p_perp bu nedenle, açısal momentum sabit kalmalıdır.

    Şimdi Şekil-6'yı düşünün. Küçük bir üçgen alan ΔA zaman içinde süpürülür Δt. Hız yol boyuncadır ve bir açı yapar θ radyal yön ile. Bu nedenle, dik hız şu şekilde verilir: v_perp = v sin θ. Gezegen bir mesafe hareket ediyor Δs = vΔtsinθ dik yön boyunca projeksiyonlu r. Bir üçgenin alanı tabanın yarısı kadar olduğundan (r) çarpı yükseklik (Δs), küçük bir yer değiştirme için, alan şu şekilde verilir:

     ΔA = 1/2 rΔs

    için ikame Δs, ile çarpmak m pay ve paydada ve yeniden düzenlemede şunu elde ederiz,

ΔA = 1/2 rΔs = 1/2 r(vΔt sinθ) = 1/2m r(mv sinθΔt) = 1/2m r(mv_perpΔt) = L/2m Δt   ( Denklem-4 )

    Alansal hız, basitçe alanın zamanla değişim oranıdır, bu yüzden,

alansal hız = ΔA/Δt = L/2m   ( Denklem-5 )

    Açısal momentum sabit olduğundan, alansal hız da sabit olmalıdır. Bu tam olarak Kepler'in ikinci yasasıdır. Kepler'in birinci yasasında olduğu gibi, Newton da bunun yerçekimi yasasının doğal bir sonucu olduğunu gösterdi.

Kepler'in Üçüncü Yasası

    Kepler'in üçüncü yasası, periyodun karesinin yörüngenin yarı ana ekseninin küpü ile orantılı olduğunu belirtir. Uydu Yörüngeleri ve Enerji'de, dairesel bir yörüngenin özel durumu için Kepler'in üçüncü yasasını türettik. Denklem?????? bize Dünya etrafında r yarıçaplı dairesel bir yörüngenin periyodunu verir:

T = 2π√r³/GM_E   ( Denklem-6 )

    Bir elips için, yarı ana eksenin günberi ve günötenin toplamının yarısı olduğunu hatırlayın. Dairesel bir yörünge için, yarı ana eksen (a) yörüngenin yarıçapı ile aynıdır. Aslında, Denklem-6 basitçe değiştirirsek bize Kepler'in üçüncü yasasını verir r ile a ve her iki tarafı da kareleyin.

T² = 4π²/GM a³   ( Denklem-7 )

    Dünya'nın kütlesini daha genel hale getirdik M, çünkü bu denklem herhangi bir büyük kütlenin yörüngesinde dönen uydular için geçerlidir. 

Örnek: Halley Kuyruklu Yıldızı'nın yörüngesi

    Halley kuyruklu yıldızının yörüngesinin yarı ana eksenini belirleyin, çünkü her 75.3 yılda bir günberiye varır. Günberi 0.586 AU ise, günöte nedir?

Strateji

    Bize dönem verildi, böylece Denklem-7 yeniden düzenleyebiliriz, yarı ana eksen için çözme. Günberi değerini bildiğimiz için, günöteyi bulmak için bu bölümde daha önce verilen yarı ana eksenin tanımını kullanabiliriz. 1 Astronomik Birimin (AU) Dünya'nın yörüngesinin ortalama yarıçapı olduğunu ve 1 AU = 1.50 x 10¹¹m olarak tanımlandığını not ediyoruz.

Çözüm

    Denklem-7 Yeniden Düzenleme ve Halley kuyruklu yıldızının periyodunun ve Güneş'in kütlesinin değerlerini ekleyerek, elimizdeki,

     a = (GM/4π² T²)^1/3
      =((6,67×10⁻¹¹ N⋅m²/kg²)(2.00×10³⁰kg)/4π² (75.3yr × 365days/yr × 24hr/day × 3600s/hr)²)^1/3

    Bu, 2,67 x 10¹² değerini verir yarı ana eksen için m veya 17.8 AU. Yarı ana eksen, günöte ve günberi toplamının yarısıdır, bu yüzden,

     a = 1/2 (aphelion + perihelion)
      aphelion = 2a−perihelion

    Yarı majör eksen için bulduğumuz değerler ile günberi için verilen değeri yerine koyarak, günöte değerini 35.0 AU olarak buluruz.

Mana

    Newton'un çağdaşı olan Edmond Halley, ilk olarak 1531, 1607 ve 1682'de bildirilen üç kuyruklu yıldızın aslında aynı kuyruklu yıldız olduğundan şüphelendi. Tycho Brahe kuyruklu yıldızların ölçümlerini yapmadan önce, bunların tek seferlik olaylar olduğuna, belki de atmosferdeki rahatsızlıklar olduğuna ve Güneş'ten etkilenmediklerine inanılıyordu. Halley, adaşı kuyruklu yıldızın 1758'deki dönüşünü tahmin etmek için Newton'un yeni mekaniğini kullandı.

Alıştırma

    Satürn'ün neredeyse dairesel yörüngesinin ortalama yarıçapı yaklaşık 9.5 AU'dur ve 30 yıllık bir periyoda sahipken, Uranüs ortalama 19 AU'dur ve 84 yıllık bir periyoda sahiptir. Bu, Halley kuyruklu yıldızı için elde ettiğimiz sonuçlarla tutarlı mı?