Düzgün Dairesel Hareket

Merkezcil ivme

    Bir önceki bölümde dairesel hareketi tanımlamıştık. Dairesel hareketin en basit durumu, bir nesnenin dairesel bir yolu sabit bir hızda hareket ettirdiği düzgün dairesel harekettir. Hızdan farklı olarak, dairesel hareket halindeki bir cismin doğrusal hızının, her zaman yön değiştirdiği için sürekli değiştiğine dikkat edin. Kinematikten biliyoruz ki ivme, büyüklükte veya yönde veya her ikisinde de hızdaki bir değişikliktir. Bu nedenle, düzgün dairesel hareket geçiren bir cisim, hızının büyüklüğü sabit olmasına rağmen her zaman ivmelenir.

    Bu hızlanmayı, bir virajı dönerken bir arabaya her bindiğinizde kendiniz yaşarsınız. Dönüş sırasında direksiyon simidini sabit tutarsanız ve sabit bir hızda hareket ederseniz, düzgün dairesel hareket gerçekleştirmiş olursunuz. Fark ettiğiniz şey, dönüşün merkezinden uzağa kayma ( veya hıza bağlı olarak fırlatılma ) hissidir. Bu, size etki eden gerçek bir kuvvet değildir - sadece vücudunuz düz bir çizgide hareket etmeye devam etmek istediği için ( Newton'un birinci yasasına göre ), araba bu düz çizgi yolunu kapatırken olur. Arabanın içinde, dönüşün merkezinden uzaklaşmaya zorlanıyormuşsunuz gibi görünüyor. Bu hayali kuvvet, merkezkaç kuvveti olarak bilinir. Eğri ne kadar keskin ve hızınız ne kadar yüksek olursa, bu etki o kadar belirgin hale gelir.

    Şekil 1, dairesel bir yolda sabit hızla hareket eden bir nesneyi göstermektedir. Anlık teğetsel hızın yönü, yol boyunca iki noktada gösterilir. İvme, hızdaki değişim yönündedir; Bu durumda kabaca dönme merkezine doğru işaret eder. ( Dönme merkezi dairesel yolun merkezindedir ). Eğer hayal edersek ΔsDs küçülür ve küçülürse, ivme tam olarak dönme merkezine doğru işaret eder, ancak bu durumu çizmek zordur. Düzgün dairesel hareketle hareket eden bir cismin ivmesine merkezcil ivme diyoruz.c Çünkü merkezcil merkez arayışı anlamına gelir.

    Artık merkezcil ivmenin yönünün dönme merkezine doğru olduğunu bildiğimize göre, merkezcil ivmenin büyüklüğünü tartışalım. Yarıçapı r olan dairesel bir yolda v hızında hareket eden bir cisim için, merkezcil ivmenin büyüklüğü

    a_c=v²/r .

    Merkezcil ivme, yüksek hızlarda ve keskin virajlarda ( daha küçük yarıçap ) daha fazladır, çünkü araba sürerken fark etmiş olabilirsiniz, çünkü araba aslında sizi dönüşün merkezine doğru iter. Ama biraz şaşırtıcı kic hızın karesi ile orantılıdır. Bu, örneğin, 100 km/s'de bir viraj aldığınızda hızlanmanın 50 km/s'ye göre dört kat daha fazla olduğu anlamına gelir.

    Ayrıca a_c açısal hızın büyüklüğü açısından ifade edebiliriz. v = rω yerine yazıldığında yukarıdaki denkleme şunu elde ederiz: a_c=(rw)²/r = rw² . Bu nedenle, açısal hızın büyüklüğü cinsinden merkezcil ivmenin büyüklüğü

    a_c=rw² .

Merkezcil Kuvvet

    Düzgün dairesel hareket eden bir cisim ivmeye maruz kaldığından ( hareket yönünü değiştirerek ancak hızı değiştirerek ), Newton'un ikinci hareket yasasından cisme etki eden net bir dış kuvvet olması gerektiğini biliyoruz. İvmenin büyüklüğü sabit olduğundan, net kuvvetin büyüklüğü de sabittir ve ivme dönme merkezine doğru işaret ettiğinden, net kuvvet de sabit olur.

    Herhangi bir kuvvet veya kuvvet kombinasyonu merkezcil ivmeye neden olabilir. Sadece birkaç örnek, bir ip topu üzerindeki ipteki gerilim, Dünya'nın Ay'daki yerçekimi kuvveti, bir yol ile bir arabanın lastikleri arasındaki sürtünme, bir virajın etrafından dönerken veya bir roller coaster pistinin normal kuvveti bir döngü sırasında arabadaki araba.

    Dairesel harekete neden olan herhangi bir net kuvvetin bileşenine merkezcil kuvvet denir. Net kuvvet merkezcil kuvvete eşit olduğunda ve büyüklüğü sabit olduğunda, düzgün dairesel hareket ortaya çıkar. Merkezcil bir kuvvetin yönü, merkezcil ivme ile aynı şekilde dönme merkezine doğrudur. Newton'un ikinci hareket yasasına göre, net bir kuvvet F_net = ma 'ya göre kütlenin hızlanmasına neden olur. Düzgün dairesel hareket için ivme merkezcil ivmedir: a = a_c. Bu nedenle, merkezcil kuvvetin büyüklüğü, F_c dir F_c = ma_c .

    Merkezcil ivmenin büyüklüğü için denklemin iki farklı formunu kullanarak, a_c=v²/r ve a_c=rw², merkezcil kuvvet F_c'nin büyüklüğünü içeren iki ifade elde ederiz. İlk ifade teğetsel hız cinsinden, ikincisi açısal hız cinsindendir: F_c = m v²/r ve F_c = mrw² .

    Denklemin her iki biçimi de kütleye, hıza ve dairesel yolun yarıçapına bağlıdır. Merkezcil kuvvet için hangi ifade daha uygunsa onu kullanabilirsiniz. Newton'un ikinci yasası ayrıca cismin net kuvvetle aynı yönde hızlanacağını belirtir. Tanım olarak, merkezcil kuvvet dönme merkezine doğru yönlendirilir, bu nedenle nesne de merkeze doğru hızlanacaktır. Dairesel yoldan dairenin merkezine çizilen düz bir çizgi her zaman teğetsel hıza dik olacaktır. Unutmayın ki, r için ilk ifadeyi çözerseniz, şunu elde edersiniz:

    r=mv²/F_c .

    Bu ifadeden, belirli bir kütle ve hız için, büyük bir merkezcil kuvvetin küçük bir eğrilik yarıçapına, yani sıkı bir eğriliğe neden olduğunu görüyoruz.

Merkezcil İvme ve Merkezcil Kuvvet Problemlerinin Çözümü

    Merkezcil ivmenin tipik büyüklükleri hakkında bir fikir edinmek için, bir tenis raketinin merkezcil ivmesini tahmin eden bir laboratuvar yapacağız ve ardından ilk Çalışılan Örneğimizde, bir eğriyi dönen bir arabanın merkezcil ivmesini yerçekimi ivmesiyle karşılaştıracağız. İkinci Çalışılan Örnek için, bir arabayı bir eğri etrafında döndürmek için gereken kuvveti hesaplayacağız.

Merkezcil İvmeyi Tahmin Etme

    Bu aktivitede, sopanın veya raketin sonunun merkezcil ivmesini tahmin etmek için bir golf sopasının veya tenis raketinin salınımını ölçeceksiniz. Bunu ağır çekimde yapmayı seçebilirsiniz. Merkezcil ivme denkleminin şu şekilde olduğunu hatırlayın: a_c=v²/r veya a_c=rw² .

• Bir tenis raketi veya golf sopası
• Bir zamanlayıcı
• Bir cetvel veya şerit metre

Prosedür

1. Bir iş ortağıyla çalışın. Golf sopasını veya tenis raketini sallarken partnerinizden güvenli bir mesafede durun.
2. Salıncağın hareketini tanımlayın - bu düzgün dairesel hareket mi? Neden ya da neden olmasın?
3. Salınımı mümkün olduğunca düzgün dairesel harekete yaklaştırmaya çalışın. Partnerinizin ne gibi ayarlamalar yapması gerekiyordu?
4. Eğrilik yarıçapını ölçün. Fiziksel olarak neyi ölçtünüz?
5. Zamanlayıcıyı kullanarak, hangi denklemi kullanmaya karar verdiğinize bağlı olarak doğrusal veya açısal hızı bulun.
6. Bu ölçümlere göre yaklaşık merkezcil ivme nedir? Sizce ne kadar doğrular? Neden? Siz ve eşiniz bu ölçümleri nasıl daha doğru hale getirebilirsiniz?

Örnek

Bir Eğriyi Dönen Bir Arabanın Merkezcil İvmesini Yerçekimi İvmesi ile Karşılaştırmak

    Bir araba 500 m yarıçaplı bir eğriyi 25.0 m/s ( yaklaşık 90 km/s ) hızla takip eder. Arabanın merkezcil ivmesinin büyüklüğü nedir? Otoyol hızında alınan bu oldukça yumuşak eğri için merkezcil ivmeyi, yerçekimi ivmesi ( g ) ile karşılaştırın.

Strateji

    Açısal hız yerine doğrusal hız verildiğinden, ifadeyi kullanmak en uygunudur a_c=v²/r merkezcil ivmenin büyüklüğünü bulmak için.

    Çözüm

    Verilen v = 25.0 m/s ve r = 500 m değerlerini a_c ifadesine girme Verir

    a_c = v²/r

    =(25,0m/s)²/500m

    =1.25m/s².

Tartışma

    Bunu yerçekimi ivmesi ile karşılaştırmak için (g = 9.80 m/s²), oranı alıyoruz a_c/g=(1.25 m/s²) / (9.80m/s²) = 0.128 . Bu yüzden a_c=0.128g bu, merkezcil ivmenin yerçekimi ivmesinin yaklaşık onda biri olduğu anlamına gelir.

Örnek

Bir Eğriyi Yuvarlayan Araba Lastikleri Üzerindeki Sürtünme Kuvveti

1. Yatay zeminde 900 m yarıçaplı bir eğriyi 600 m/s hızla dönen 25.0 kg'lık bir arabaya uygulanan merkezcil kuvveti hesaplayın.
2. Statik sürtünme aracın kaymasını önler. Lastikler ile yol arasındaki sürtünme kuvvetinin büyüklüğünü bulun, bu da aracın düz bir çizgide kaymadan virajı dönmesini sağlar.
3. Araba daha hızlı hareket edecek olsaydı kayacaksa, lastikler ile yol arasındaki statik sürtünme katsayısı nedir? Arabanın kaymadan virajı daha hızlı dönüp dönemeyeceğini bilmeseydik, statik sürtünme katsayısı hakkında bir sonuca varabilir miydik?

( a ) için Strateji ve Çözüm

    Biliyoruz ki F_c=m v²/r . Bu yüzden,

    F_c=m v²/r

    =(900kg)(25.0m/s)² / 600m

    =938N

( b ) için Strateji ve Çözüm

    Yukarıdaki resim, virajı yuvarlarken araca etki eden kuvvetleri göstermektedir. Bu diyagramda, araba gösterildiği gibi sayfaya doğru hareket ediyor ve sola dönüyor. Sürtünme sola doğru hareket ederek arabayı virajın merkezine doğru hızlandırır. Sürtünme, arabaya etki eden tek yatay kuvvet olduğundan, bu durumda merkezcil kuvvetin tamamını sağlar. Bu nedenle, sürtünme kuvveti bu durumda merkezcil kuvvettir ve eğrinin merkezine doğru işaret eder.

    f=F_c=938N

( c ) için Strateji ve Çözüm

    Araç kaymak üzereyse, statik sürtünme maksimum değerindedir ve f=μsN=μsmg . μs için çözme, μs=938900×9.8=0.11 elde ederiz. Eğriyi yuvarlamak için izin verilen maksimum hızı bilip bilmediğimize bakılmaksızın, bunun katsayı için minimum bir değer olduğu sonucuna varabiliriz.

Tartışma

    Bölüm ( b )'de sürtünme kuvvetini bulduğumuza göre, sürtünme katsayısını da çözebiliriz, çünkü f=μsN=μsmg . Statik sürtünme sadece μsN'ye eşittir mümkün olan en yüksek değerde olduğunda. Araç daha hızlı gidebilseydi, verilen hızdaki sürtünme yine hesapladığımızla aynı olacaktı, ancak statik sürtünme katsayısı daha büyük olacaktı.